ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТЬ

      Рассматривая метод наименьших квадратов (см. предыдущие выпуски рассылки), мы обратили внимание на случаи, когда применение МНК ведет к различным негативным последствиям. Эти случаи заключаются в невыполнении условий применения МНК, одним из которых является независимость остатков и постоянство их дисперсии. Пример, при­веденный на рис. 1 показывает, что прогноз значения показателя  в точке  значи­тельно отличается от истинного значения. Ис­ходя из критерия минимума среднеквадрати­ческой ошибки на точках обучающей последо­вательности, который является базисом МНК, наилучшим приближением эксперименталь­ной зависимости является прямая. В то же время, очевидно, что дисперсии остатков из­меняются по некоторому закону (квадратиче­скому или типа квадратного корня).

      В общем случае, такое явление приводит к тому, что оценки параметров по МНК будут несмещенными, состоятельными, но неэффективными и формулу для стандартной ошибки оценки адекватно применять нельзя. Напомним, что:

-         оценка  параметра  называется несмещенной, если , где  - математическое ожидание;

-         оценка  параметра  называется состоятельной, если  (сходимость по вероятности);

-         оценка  параметра  называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию в некотором классе оценок.

      Если дисперсия остатков изменяется для каждого наблюдения или группы наблюдений, т.е. , где, в общем случае, - неизвестный параметр, а - известная симметричная положительно определенная матрица, то такое явление называется гетероскедастичностью. Если же , то имеем гомоскедастичность.

      В случае простой однофакторной модели  устранить гетероскедастичность просто. Достаточно левую и правую часть модели поделить на . Для многофакторной модели такое преобразование значительно усложняется.

      Для проверки наличия гетероскедастичности используют четыре метода, в зависимости от природы исходных данных: критерий , параметрический тест Гольдфельда-Квандта, непараметрический тест Гольдфельда-Квандта, тест Глейсера. Приведем алгоритмы каждого из методов.

      Критерий  применяется в случае значительной совокупности исходных данных.

Шаг 1. Значения показателя  разбиваются на  групп в соответствии с изменениями уровня величины  (по возрастанию, например).

Шаг 2. По каждой группе данных вычисляем сумму квадратов отклонений , .

Шаг 3. Определим сумму квадратов отклонений в целом по совокупности наблюдений:

, де  - количество элементов в - й группе.

Шаг 4. Вычислим параметр   ,  де   - количество наблюдений.

Шаг 5. Вычислим значение критерия , который приблизительно отвечает распределению  со степенью свободы , если дисперсия всех наблюдений однородна.

Таким образом, если значение  не меньше табличного значения  при выбранном уровне доверия и степени свободы , то принимается гипотеза о наличии гетероскедастичности.

      Параметрический тест Гольдфельда-Квандта применяется, если количество наблюдений невелико и сделано предположение о том, что дисперсия остатков возрастает пропорционально квадрату одной из независимых переменных, т.е. .

Шаг 1. Упорядочить наблюдения в соответствии с величиной элементов вектора , для которого предположительно выполняется вышеприведенное равенство.

Шаг 2.  Исходя из соотношения , предложенного авторами метода, где  - количество элементов , выбросить  наблюдений, которые находятся в средине вектора.

Шаг 3. Согласно МНК построить две эконометрические модели по двум полученным совокупностям наблюдений размером , естественно при условии, что   , где  - количество независимых факторов, присутствующих в модели.

Шаг 4. Найти сумму квадратов остатков для первой и второй моделей:

 и   .

Шаг 5. Вычислить значение критерия , который соответствует - критерию со  степенями свободы.

Таким образом, если , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.

• Значительная часть материала заимствована из пособия:

Наконечный С.И., Терещенко Т.О., Романюк Т.П. Эконометрия. – К.: КНЭУ, 1997. – 352с.