Интерполяционная формула Стирлинга

            Взяв среднее арифметическое первой и второй интерполяционных формул Гаусса (2) и (3) (предыдущей рассылки), получим формулу Стирлинга

,                            (1)

где .

Легко видеть, что  при  .

      Пример.    Используем интерполяционную формулу Стирлинга для решения примера 2. (см. выше в прошлой рассылке). Подставляя соответствующие коэффициенты из таблицы разностей (таблица 2) в формулу (1), получим:

или

,

где

.

Это и есть искомый интерполяционный полином Стирлинга.

Интерполяционная формула Лагранжа

      Описание задачи. Приведённые ранее интерполяционные формулы пригодны лишь в случае равноотстоящих узлов интерполирования. Для произвольно заданных узлов интерполирования пользуются более общей формулой, так называемой интерполяционной формулой Лагранжа.

      Пусть на отрезке  даны  различных значений аргумента:  и известны для функции  соответствующие значения:

,,…,.

Требуется построить полином  степени не выше , имеющий в заданных узлах  те же значения, что и функция , т. е. такой, что

   ().

            Этот полином имеет следующий вид:

,                                                     (2)

где полином  такой, что

                                                ,                                          (3)

где  - символ Кронекера.

      В самом деле, во-первых, очевидно, степень построенного полинома  не выше  и, во-вторых, в силу условия (3) имеем:

         .

 Причем

.

Подставив значение  в формулу (2), получим:

                  .                        (4)

Это и есть интерполяционная формула Лагранжа.

      Имеет место единственность полинома Лагранжа, откуда, в частности, следует, что если узлы интерполирования – равноотстоящие, то интерполяционный полином Лагранжа совпадает с соответствующим интерполяционным полиномом Ньютона.

      Заметим, вообще, что все построенные выше интерполяционные формулы получаются из интерполяционной формулы Лагранжа при соответствующем выборе узлов.

      Формуле (4) Лагранжа можно придать более сжатый вид. Для этого, введя обозначение , получим:

_.

      Следует отметить, что формула Лагранжа в отличие от предыдущих интерполяционных формул содержит явно , что бывает иногда важно.

      Рассмотрим два частных случая интерполяционного полинома Лагранжа.

      При  мы имеем две точки, и формула Лагранжа представляет в этом случае уравнение прямой , проходящей через две заданные точки:

,

где , - абсциссы этих точек.

      При  получим уравнение параболы , проходящей через три точки:

,

где ,, - абсциссы данных точек.

      Пример. Пусть на отрезке  даны 4-е значения аргумента и соответствующие им 4-е значения функции , как показано в таблице

Построить с помощью интерполяционной формулы Лагранжа интерполяционный полином  для функции , заданной этой таблицей.

      Решение. В данном случае , тогда, применяя формулу (4), находим

_{После преобразований получим:}

.

Это и есть искомый полином Лагранжа для функции .