Дистрибутивно – лаговые модели (Часть 3).

Дистрибутивно – лаговые модели (Часть 3).

Подход Ш. Альмона: полиномиальный лаг Альмона.

            В предыдущих выпусках рассматривались различные модификации модели Койка для оценки параметров дистрибутивно-лаговых моделей (ДЛМ). Основным их недостатком является предположение о том, что коэффициенты  убывают в геометрической прогрессии, которое на практике в некоторых ситуациях является слишком строгим.

Рассмотрим конечную ДЛМ в  периодов:

,                              (1)

которую можно записать таким образом:

.                                                                      (2)

            Ш. Альмоном предложен подход, при котором коэффициенты  согласно теореме Вейерштрасса можно аппроксимировать полиномом соответствующей степени от  - величины временного лага, то есть:

,                                                          (3)

где  - степень полинома, причем предполагается, что .

После подстановки (3) в (2) получим:

.

После замены

,       

 ,

…,

                         (4)

получим модель Альмона

.                                (5)

            При условии удовлетворения  всем предположениям классической модели линейной регрессии для оценки параметров  и  можно использовать стандартный метод наименьших квадратов (МНК). В этом основное преимущество модели Альмона перед моделью Койка, так как последняя имеет серьезные проблемы в связи с присутствием авторегрессионной переменной , которая возможно коррелирует со случайной величиной .

            Таким образом, получив оценки параметров модели (5) , находим оценки параметров модели (1) по формуле (3):

,

,

 …,

.      

Выбор параметров  и . 

1.      Выбор максимальной длины временного лага до начала исследований является основным недостатком в модели Альмона. Исследователь должен самостоятельно определить этот параметр, исходя из условия задачи. Обычно на практике  выбирают относительно небольшим в зависимости от размера исходной выборки.

2.      Не менее важным является выбор степени полинома , которая должна быть хотя бы на единицу больше количества экстремумов в зависимости . Таким образом, выбор этого параметра также является в большой мере субъективным. На практике допускается, что при выборе небольших значений  (порядка 2-3) результаты будут приемлемыми.

Чтобы определить, достаточно ли полинома -й степени для аппроксимации модели (5) находят оценки параметров модели при , то есть:

.

Тогда, если параметр  - статистически значим, а - нет, то можно предположить, что степени полинома  достаточно для аппроксимации. Но в связи с (4) ( - линейные комбинации ) возможно наличие мультиколлинеарности между , что может дать неадекватную оценку параметра . В этом случае оценка  статистически незначима из-за того, что начальная выборка недостаточно информативна для оценки влияния переменной  на . Поэтому перед принятием решения о ненадобности выбора полинома -й степени необходимо убедиться в отсутствии мультиколлинеарности.

Замечание: оценки  могут иметь большие ошибки вследствие мультиколлинеарности , тогда часть коэффициентов  будут статистически незначимыми, но это не означает статистическую незначимость коэффициентов .

Преимущества метода.

1.      Метод применим для более широкого ряда лаговых структур в сравнении с моделью Койка, где коэффициенты  убывают строго в геометрической прогрессии.

2.      В отличие от модели Койка, нет проблем связанных с присутствием зависимых переменных.

3.      При выборе полинома небольшой степени значительно сокращается количество коэффициентов, которые необходимо оценить: .

      Недостатки метода.

1.      Степень полинома и максимальная длина лага ( и ) выбираются достаточно субъективно.

2.      Проблема мультиколлинеарности переменных .