Дистрибутивно – лаговые модели (Часть 2)

Дистрибутивно – лаговые модели (Часть 2)

            В предыдущем выпуске было рассмотрено три подхода к решению задачи упрощения оценки параметров дистрибутивно-лаговых моделей:

1. Модель Койка

,

где .

2. Модель адаптивных ожиданий

,

где .

3. Модель частичных приспособленностей

где .

Все эти модели являются авторегрессивными и их можно представить в виде

                                                                               (1)

Для оценки параметров  можно использовать метод наименьших квадратов (МНК) только если верно предположение о том,  что стохастическая независимая переменная  не коррелирует со случайной величиной , иначе оценки МНК будут смещенными и не консистентными.

            Рассмотрим свойства . Допустим, что начальная случайная величина  соответствует всем классическим предположениям гомоскедастичности (,) и отсутствия автокорреляции (, ), тогда  в случае моделей Койка () и адаптивных ожиданий () серийно коррелируемые. Покажем это на примере модели Койка:

,

и соответственно

.

Для модели частичных приспособленностей , при . Тогда при указанных выше условиях для ,  также будет их удовлетворять, поэтому можно применить МНК с сохранением консистентности его оценок. Хотя на маленьких выборках оценки могут быть смещенными.

Метод вспомогательных переменных.

            Для того, чтобы избавиться от корреляции между  и  можно найти новую переменную – заменитель , которая сильно коррелирует с  и не коррелирует с . Такая переменная называется вспомогательной переменной. Пусть эту роль выполняет . Тогда для получения оценок параметров ДЛМ запишем систему уравнений:

                                                                                (2)

При использовании  система выглядит таким образом:

                                      (3)

Так как  и  могут коррелировать друг с другом, а   и  не коррелируют с , то (2) - дает консистентные оценки, а (3) -  может их и не давать.

            Следует отметить, что последовательные значения  и  могут иметь высокую корреляцию, вследствие чего возникает проблема мультиколинеарности и оценки из (2) могут быть неэффективными. Учитывая сложность подбора адекватной вспомогательной переменной - заменителя, данный метод имеет малую область использования на практике.

Примечание: каждый из трех методов должен использоваться для решения той или иной задачи исходя из его личных качеств и преимуществ на основе теоретических обоснований, а не только потому, что какая-то модель позволяет легче провести статистическую оценку.

Определение автокорреляции в авторегрессивных моделях с помощью h-теста Дарбина.

В авторегрессивных моделях нельзя использовать d-тест Дарбина-Уотсона для определения серийной корреляции первого порядка, так как d в таких моделях часто приближается к 2, что характерно для действительно случайных последовательностей.

h-тест используется для больших выборок и имеет вид:

,

где – размер выборки,  - дисперсия оценки параметра  при ,  - оценка коэффициента серийной корреляции 1-го порядка .

            При  распределено по нормальному закону (с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1), поэтому статистическую значимость  определяем из таблицы нормального закона распределения.

На практике , где  - значение d-теста Дарбина-Уотсона.

Из закона нормального распределения находим:

Тогда решение выглядит так:

a)      если , то есть позитивная автокорреляция 1-го порядка;

b)      если , то есть негативная автокорреляция 1-го порядка;

c)      если , то нет автокорреляции 1-го порядка;

Пример: в выборке =200, =1.8, =0.001, тогда

Таким образом, с доверительной вероятностью 0.95 можно принять гипотезу о том, что нет позитивной автокорреляции.

Особенности h-теста Дарбина:

a)      для нахождения значения теста достаточно найти дисперсию коэффициента предыдущего значения ;

b)      тест нельзя использовать при ;

c)      тест можно использовать только для больших выборок, так как свойства теста для маленьких выборок пока еще не определены.