Вторая интерполяционная формула Ньютона

      Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполи­рования функции вблизи узлов таблицы. В этом случае обычно применяется вторая интер­поляционная формула Ньютона.

      Описание задачи. Пусть имеем последовательность значений функции

,

для равноотстоящих значений аргумента    ,  где  - шаг интерполяции. По­строим полином следующего вида:

,

или, используя обобщённую степень, получаем:

        .         (1)

Тогда, при выполнении равенства , ,  получим

 , .

Подставим эти значения в формулу (1). Тогда, окончательно, вторая интерполяцион­ная формула Ньютона имеет вид:

                  .               (2)

      Введём более удобную запись формулы (2). Пусть , тогда  ,  и т. д. Подставив эти значения в формулу (2), получим:

 .    (3)

Это и есть обычный вид второй интерполяционной формулы Ньютона. Для прибли­жённого вычисления значений функции  полагают:

.

      Как первая, так и вторая интерполяционные формулы Ньютона могут быть исполь­зованы для экстраполирования функции, т. е. для нахождения значений функции  для значений аргументов , лежащих вне пределов таблицы. Если  и  близко к , то выгодно применять первую интерполяционную формулу Ньютона, причём тогда   .  Если же  и  близко к , то удобнее пользоваться второй интер­поляционной формулой Ньютона, причём .  Таким образом, первая интер­поляционная формула Ньютона обычно используется для интерполирования вперёд и экстраполирования назад, а вторая интерполяционная формула Ньютона, наоборот, - для интерполирования назад и экстраполирования вперёд.

      Заметим, что операция экстраполирования, вообще говоря, менее точна, чем опера­ция интерполирования в узком смысле слова.

Пример. Приняв шаг , построить интерполяционный полином Ньютона для функции , заданной таблицей

Решение. Составляем таблицу разностей (таблица 1). Так как разности третьего порядка практически постоянны, то в формуле (3) полагаем  . Приняв , , будем иметь:

,

или

,

где .

Это и есть искомый интерполяционный полином Ньютона.

                                                                                       Таблица 1