Тест Глейсера.

Тест Глейсера.

            Ещё один тест для проверки гетероскедастичности составил Глейсер. Он предло­жил рассматривать регрессию абсолютных значений остатков , которые соответствуют регрессии наименьших квадратов, как определённую функцию от , где  - незави­симая переменная, которая отвечает изменению дисперсии . Для этого используются такие виды функций:

1)      ;

2)      ;

3)       и т. д.

Решение об отсутствии гетероскедастичности остатков принимается на основании ста­тистической значимости коэффициентов  и . Преимущества этого теста опреде­ляются возможностью различать случаи чистой и смешанной гетероскедастичности. Чистой гетероскедастичности отвечают значения  параметров  и , а сме­шанной  –  и . В зависимости от этого, нужно пользоваться разными матри­цами . Напомним, что .

Определение матрицы .

        Чтобы оценить параметры модели, когда дисперсии остатков определяются , нужно определить матрицу .

         Поскольку явление гетероскедастичности связано только с тем, что изменяются дисперсии остатков, а ковариация между ними отсутствует, то матрица  должна быть диагональной, а именно:

      Чтобы объяснить, почему именно такой вид имеет эта матрица, необходимо ещё раз подчеркнуть: при наличии гетероскедастичности для определённых выходных данных одна (или несколько) объяснительных переменных могут резко изменятся  от одного наблюдения к другому, в то время как зависимая переменная имеет такие же колебания, как и для предыдущих наблюдений.

      Но это означает, что дисперсия остатков, которая будет изменяться от одного на­блюдения к другому (или для групп наблюдений), может быть пропорциональной к величине объяснительной переменной  (или к её квадрату), которая обуславливает гетероскедастичность, или пропорциональной к квадрату остатков.

      Отсюда в матрице  значения  можно вычислить, пользуясь гипотезами:

a)      , то есть дисперсия остатков пропорциональна к изменению объ­яснительной переменной ;

b)      , то есть изменение дисперсии пропорционально к изменению квадрата объяснительной переменной ;

c)      , то есть дисперсия остатков пропорциональна к изменению квадрата остатков по модулю.

Для первой гипотезы: .

Для второй гипотезы: .

Для третьей гипотезы: , или , или .

            Поскольку матрица  – симметричная и положительно определена, то при  матрица  имеет вид:

,

Обобщённый метод наименьших квадратов

(метод Эйткена)

            Эконометрическая модель, которой свойственна гетероскедастичность, является обобщённой моделью, и для оценивания её параметров следует воспользоваться обоб­щённым методом наименьших квадратов. Рассмотрим этот метод.

            Пусть задано эконометрическую модель

,                                                            (1)

когда .

            Задача состоит в отыскании оценок элементов вектора в модели. Для этого ис­пользуется матрица , с помощью которой корректируется выходная информация. Эта идея была положена в основу метода Эйткена.

            Базируясь на особенностях матриц  и , которые были рассмотрены выше, можно записать соотношения между этими матрицами и обратными им.

            Поскольку  – положительно определённая матрица, то она может быть изобра­жена как произведение , где матрица  не вырождена, то есть:

                                                           ,                                                                             (2)

когда

                                                        ;                                                                        (3)

и

                                                        .                                                                        (4)

            Умножив уравнение (1) слева на матрицу , получим:

                                                  .                                                                 (5)

Обозначим                                   ;

      ;

       .

            Тогда модель будет иметь вид:

                                                       .                                                                      (6)

            Используя (3), нетрудно показать, что

             ,

то есть модель (6) удовлетворяет условию , когда параметры модели можно оце­нить на основе МНК.

            Отсюда

                                     .                                               (7)

            Эта оценка является несмещённой линейной оценкой вектора, который имеет наименьшую дисперсию и матрицу ковариаций

                                                                                        (8)

            Несмещённую оценку для дисперсии  можно получить так:

              .                (9)

Оценка параметров , которую найдено с помощью (7), является оценкой обоб­щённого метода наименьших квадратов (метода Эйткена).

            При заданной матрице  оценку параметров модели можно вычислить согласно  (7), а стандартную ошибку – согласно (8). Поэтому можно сконструировать обычные критерии значимости и доверительные интервалы для параметров .

            Определив остатки  и умножив слева на матрицу , получим:

,

или

.

            Отсюда                                 .

            Тогда                           .

            Так как                 ,

то                                                                                                       (10)

            Итак, мы разбили общую сумму квадратов для (6) на сумму квадратов регрессии и остаточную. Согласно с этими данными дисперсионный анализ будет выполнено для пре­образованных выходных данных. Кроме того, когда независимая переменная  измерена относительно начала отсчёта, а не в форме отклонения от средней, то необходимо опреде­лить её среднее значение и воспользоваться им для коррекции общей суммы квадратов и суммы квадратов регрессии.

            Модель обобщённого метода наименьших квадратов иногда специфицируется в виде

,

                                                                    ,                                                               (11)

,

где  – известная симметричная положительно определённая матрица. Тогда вы­ражение для оценки параметров согласно с методом Эйткена запишется так:

                                                ,                                                            (12)

а для ковариационной матрицы

                                                .                                                            (13)