ПЕРВАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА

ПЕРВАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА

(Значительная часть материала заимствована из книги  Демидовича Б.П., Марона И.А. по выч. матем-ке)

     1. Описание задачи. Пусть для функции  заданы значения  для равноотстоящих значений независимой переменной: , , где  - шаг интерполяции. Требуется подобрать полином  сте­пени не выше , принимающий в точках  значения

                                                           ,.                                             (1)

Условия (1) эквивалентны тому, что   при .

Интерполяционный полином Ньютона имеет вид:

.             (2)

Легко видеть, что полином (2) полностью удовлетворяет требованиям поставленной задачи. Действительно, во-первых, степень полинома  не выше , во-вторых,

   и    ,  .

Заметим, что при  формула (2) превращается в ряд Тейлора для функции :

.

    Для практического использования интерполяционную формулу Ньютона (2) обычно записывают в несколько преобразованном виде. Для этого введём новую пере­менную  по формуле    ;   тогда получим:

        ,               (3)

где  представляет собой число шагов, необходимых для достижения точки , исходя из точки  . Это и есть окончательный вид интерполяционной формулы Ньютона.

     Формулу (3) выгодно использовать для интерполирования функции  в окрестности начального значения , где  мало по абсолютной величине.

     Если дана неограниченная таблица значений функции , то число  в интер­поляционной формуле (3) может быть любым. Практически в этом случае число  вы­бирают так, чтобы разность  была постоянной с заданной степенью точности. За начальное значение  можно принимать любое табличное значение аргумента .

    Если таблица значений функции конечна, то число  ограничено, а именно:  не может быть больше числа значений  функции , уменьшенного на единицу.

   Заметим, что при применении первой интерполяционной формулы Ньютона удобно пользоваться горизонтальной таблицей разностей, так как тогда нужные значе­ния разностей функции  находятся в соответствующей горизонтальной строке таблицы.

     2. Пример.  Приняв шаг , построить интерполяционный полином Ньютона для функции , заданной таблицей

            Решение. Составляем таблицу разностей (таблица 1).

Так как разности третьего порядка практически постоянны, то в формуле (3) полагаем  . Приняв , , будем иметь:

,

или    ,

где   . Это и есть искомый интерполяционный полином Ньютона.

                                                                                       Таблица 1

Полученный полином дает возможность прогнозирования. Достаточную точность получаем при решении интерполяционной задачи, например, . Точность падает при решении экстраполяционной задачи, например,  .

ã Виталий Снитюк, 2002